如果有人告訴你，在任何時刻地球上總可以找到一個點，此時此刻在這一點上沒有風！你可能會感到十分驚訝，然而這卻是事實。縮到小范圍可能會使你更加相信這一點。

大家知道，臺風是熱帶海洋上的大風暴，它實際上是一團范圍很大的旋轉空氣。

我們常聽到新聞中臺風的消息，說是臺風中心附近的風力達到12級。這是指臺風中心附近的風速達33米/秒，它相當于一列高速奔馳的火車的速度。

圖源：pexels

更有甚者，如2019年第9號臺風“利奇馬”（超強臺風），其中心附近的最大風速竟達52米/秒。

可是，在如此猛烈的臺風的中心，在大約10千米直徑的范圍內，由于外圍的空氣旋轉得太厲害，不易進到里面去，所以那兒的空氣幾乎是不旋轉的，因而也就沒有風。

下面是一則真實的報道，這是一位美國的氣象學家乘坐臺風偵察機，穿入太平洋上的一個臺風眼時，對目睹的情況所做的生動描述。它無疑能夠加深你對“臺風眼”這一奇異景觀的了解。

“……不久，在飛機的雷達熒光屏上開始看到無雨的臺風眼邊緣。飛機從傾盆大雨顛簸而過以后，突然我們來到耀眼的陽光和晴朗的藍天下。在我們的周圍展現出一幅壯麗的圖畫： 在臺風眼內是一片晴空，直徑60千米，其周圍被一圈云墻環抱。有些地方高大的云墻筆直地向上聳立著，而在另一些地方云墻像大體育場的看臺傾斜而上，臺風眼上邊圓圈有10~12千米，似乎綴在藍天背景上……”

看！在那宛如萬馬奔騰的怒吼的狂風中，果然存在著一個風的不動點。

不動點的現象在自然界、生活中隨處可見。

日本東京工大田中富教授在《科學之謎》一書中，提到一件有趣的事：老師帶著一批學生到一座寺廟去參觀，這位老師把頭伸到大吊鐘里去觀察鐘的結構，有個學生很淘氣，想嚇唬這位老師，就使勁用撞鐘木去敲擊大鐘，結果不但沒有嚇著老師和旁邊的女同學，自己反而被震耳的鐘聲嚇了一大跳。

為什么會出現這種現象呢？

田中富教授畫了一張圖并解釋說，這與在一個碗里倒滿水，然后用筷子敲碗邊，我們可以看到波紋從碗周圍向碗中心移動的現象是一個道理。此時中心部分波紋因互相抵消而消失。

圖中的A、B、C、D、E實際上是聲波的不動點。相反，敲鐘學生站的地方F，恰是鐘振動最大的地方，所以聲音自然特別震耳。

下面你可以做一個有趣的游戲。

拿來同一個人的大小兩張照片，把小照片隨手疊放在大照片之上，然后你向觀眾宣布：小張照片上一定有一點O，它和下面大張照片與之正對著的點O′，實際上代表著同一個點。

對此，你的觀眾一定會半信半疑。不過，當你告訴他如何找到這個不動點時，他們的一切疑慮都會煙消云散。

設大照片為A′B′C′D′，小照片相應為ABCD，延長AB交A′B′于P點，過A、P、A′，及B、P、B′分別作圓。則兩圓交點O即為所求的不動點。

事實上由上圖知：

這就說明了O點在大小照片中，所處的位置沒有變動，即O為照片位置變換的不動點。

瞧！不動點現象是多么神奇，多么耐人尋味！

另一個例子是大商場等地方可以看到的平面地圖，上面標有“您在此處”的紅點。如果標注足夠精確，那么這個點就是把實際地形射到地圖的連續函數的不動點。

地球繞著它的自轉軸自轉。自轉軸在自轉過程中是不變的，也就是自轉運動的不動點。

關于不動點系統的研究，始于20世紀初，1912年，荷蘭數學家L.E.J.布勞威爾(L.E.J.Brouwer，1881—1966)證明：任意一個把n維球體變為自身的連續變換，至少有一個不動點。

這就是著名的不動點定理。

L.E.J.布勞威爾

對于大多數的讀者，布勞威爾定理中的一些數學術語，無疑需要加以解釋。

例如，粗淺地說，就是“連續變換”原先距離很小的兩點，變換后的距離依然很小。至于“n維空間”，這是一個抽象的概念。

具體地說，直線是一維空間，平面是二維空間，普通空間是三維空間，等等。因而線段是一維球體，平面圓域是二維球體，普通的球是三維球體，等等。

布勞威爾定理的嚴格證明雖說很深奧，但有關布勞威爾定理的一些實例卻是很有趣的。

拿一個平底盤和一張恰好蓋住盤底面的紙，紙上的每一個點正好對應著它正下方盤面上的一個點。現在把紙拿起來隨便揉成一個小紙團，再把小紙團扔進盤里。

那么，根據布勞威爾不動點定理，不管小紙團怎樣揉，也不管它落在盤底的什么地方，我們可以肯定，在小紙團上至少有一個點，它恰好位于盤子原先與這一點對應的點的正上方。盡管我們說不準這樣的點在哪兒。

以上事實我們可以給予如下說明： 假設小紙團在盤面上的正投影為區域Ω?。顯然，原紙片上與Ω?相對應的點一定位于Ω?的正上方，假設紙團里的這部分在盤底的正投影為區域Ω?，顯然Ω?<Ω?。

同樣，原紙片上與Ω?相對應的點一定位于Ω?的正上方，而紙團里的這部分在盤底的正投影為區域Ω?，又有Ω?＜Ω?，如此等等，可以反復做下去，得到一連串一個比一個小的區域Ω?，Ω?，Ω?，…，這些區域一個含于另一個之內，形成一層小似一層的包圍圈。因此最后必然縮到“一個點”（或“一個小區域”），那么這個點（或小區域上的點）在紙團上的位置，一定恰好在該點的上方。

布勞威爾不動點定理問世后，引起了各國科學家的極大興趣，他們對此做了大量的工作，取得了許多奇妙的應用。

舉一個頗有影響的例子。

1799年，德國數學大師高斯證明了n次代數方程

至少有一個根。這就是著名的代數學基本定理。

盡管這個定理的名稱，對于200多年后的今天似乎不確切，但對于200多年前以方程理論為主體的代數學，卻沒有言過其實。

今天，當我們研究了不動點理論之后，可以把方程f(x)=0的求根問題，轉化為求函數φ(x)=f(x)+x的不動點。

由于方程f(x)=0的根不可能超越復數平面的某個半徑很大的圓域，又函數φ(x)顯然是連續的,因此在這個大圓域運用布勞威爾不動點定理，知道至少存在一個點x，使得

φ(x)=x

即 f(x)+x=x

也就是說，方程f(x)=0至少有一個根。看！一個在代數學上起著巨大作用的定理，竟如此輕松地證明了。

不過，對于不動點理論，科學家們似乎感到不盡如人意，因為這個理論只告知不動點的存在，卻沒說不動點在哪里。這個問題困擾了他們達50年之久，直至20世紀60年代后期，情況才有了轉機。

1967年，美國耶魯大學的斯卡弗教授，在不動點由未知轉向已知方面，取得了重大突破。他提出了一種用有限點列逼近不動點的算法，使不動點的應用，取得了一系列卓越的成果。

有趣的是，對不動點理論做出如此巨大貢獻的斯卡弗本人，卻是一名專攻經濟學的學者。數學上的理論，使斯卡弗和他的同行們在經濟學領域猶如猛虎添翼，取得了累累碩果。

轉載內容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場

如需轉載請聯系原公眾號

來源：原點閱讀

編輯：冬眠愛好者